Équation de la tangente à une courbe

Propriété

Soit $f$  une fonction définie sur $I$ de $\mathbb{R}$ et dérivable en un réel  $a\text{inI}$ .
Au point d’abscisse  $a$ , la tangente à la courbe représentative de  $f$  a pour équation :

$\boxed{{\displaystyle y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)}}$ .

Démonstration

Par définition, la tangente à la courbe représentative de  $f$  au point d'abscisse  $a$ admet comme coefficient directeur $f^{\prime }(a)$  donc son équation réduite est de la forme :  $y=f^{\prime }(a)x+p$  où  $p$  est l'ordonnée à l'origine.
Déterminons $p:$ comme la tangente passe par le point $\text{A}(a;f(a))$ , les coordonnées du point $\text{A}$ vérifient l'équation $f(a)=f^{\prime }(a)a+p$ , c'est-à-dire $p=f(a)-a{f}^{\prime }(a)$ .
On en déduit que l'équation de la tangente s'écrit $y=f^{\prime }(a)x+f(a)-a{f}^{\prime }(a)$ , c'est-à-dire $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ .